20 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Resultaten aus Lektion 19 0:08:08 Symmetrische Irrfahrt auf den ganzen Zahlen: Stoppen in der Höhe 1 0:20:31 Hauptlemma für symmetrische Irrfahrten auf den ganzen Zahlen 0:40:42 Die Waldsche Gleichung

Wahrscheinlichkeitstheorie, SS2016, Vorlesung

20: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 18.07.2016

19 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Resultaten aus Lektion 18 0:09:15 L2-Martingale haben orthogonale Zuwächse 0:12:25 Martingale und konvexe Funktionen liefern Submartingale 0:14:18 Spielsysteme 0:19:49 Martingaltransformation 0:21:24 Satz über die Martingaltransformation 0:28:11 Bemerkungen zut Martingaltransformation 0:30:21 Gestoppte Martingale bleiben Martingale 0:37:55 Satz (Optionales Stoppen, Doob) 0:56:11 Das Spieler-Ruin-Problem

19: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 13.07.2016

18 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Begriffe und Resultate von Lektion 17 0:04:14 Diskussion (Filtration, Adaptiertheit, Stoppzeit) 0:10:19 Charakterisierung einer Stoppzeit 0:13:35 Summen, Maxima und Minima von Stoppzeiten sind Stoppzeiten 0:15:09 Beispiele für Stoppzeiten (Ersteintrittszeiten, konstante Stoppzeit) 0:21:24 Sigma-Algebra der tau-Vergangenheit 0:24:57 Satz (Messbarkeit einer gestoppten Zufallsvariablen) 0:30:10 Beispiel (Stoppen in einem Urnenmodell) 0:40:59 Submartingal, Supermartingal, Martingal 0:45:35 Interpretation (Submartingal, Supermartingal, Martingal) 0:49:00 Monotonie bzw, Konstanz der Folge (E(X_n)) bei Sub- bzw. Supermartingal und Martingal 0:51:43 Test eines Sub- bzw. Supermartingals auf ein Martingal 0:55:25 Beispiel: Partialsummen unabhängiger Zufallsvariablen 0:59:43 Beispiel: (Partial-)Produkte unabhängiger Zufallsvariablen 1:03:30 Das Doobsche Martingal 1:07:26 Prävisible (vorhersagbare) Folge 1:09:49 Beispiel 1:11:27 Ein vorhersagbares Martingal ist mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant 1:13:35 Die Doob-Zerlegung

18: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 11.07.2016

17 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Resultate aus Lektion 16 0:07:08 Beispiel (Anwendung verschiedener Rechenregeln) 0:14:40 Faktorisierungslemma 0:25:32 Bedingte Erwartung E[X|Z], Faktorisierung von E[X|Z] 0:34:06 Bedingter Erwartungswert E[X|Z=z] 0:40:04 Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|Z), P(A|Z=z) 1:00:42 Bedingter Erwartungswert als Erwartungswert der bedingten Verteilung 1:08:03 Spezialfall einer gemeinsamen Verteilung mit einer Dichte 1:12:00 Berechnung von Ef(Z,X) 1:17:20 Stoppzeiten und Martingale (allgemeine Betrachtungen) 1:20:24 Filtration, Stoppzeit, Adaptiertheit

17: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 04.07.2016

16 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Lektion 15: Bedingte Erwartung 0:06:14 Bedingte Erwartung als Orthogonalprojektion 0:25:31 Eigenschaften I (Linearität, Monotonie, iterierter E-Wert) 0:26:30 Nachweis der Existenz der bedingten Erwartung durch L2-Approximation 0:44:21 Eigenschaften II (Herausziehen G-mb. Faktoren, Turmeigenschaft, Dreiecksungleichung, Streichen einer unabhängigen Sigma-Algebra 1:00:05 Bedingte Versionen der Konvergenzsätze 1:04:52 Jensen-Ungleichung für bedingte Erwartungen 1:15:29 Eine von X und G unabhängige Sigma-Algebra ist irrelevant

16: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 29.06.2016

15 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Resultaten aus Lektion 14 0:04:24 Bedingte Verteilung bei gemeinsamer Dichte 0:18:11 Bedingte Verteilung bei gemeinsamer Dichte 0:20:23 Interpretation der bedingten Dichte 0:25:36 Bedingte Verteilung von X unter der Bedingung |X| =t 0:33:25 Bedingte Verteilung bei bivariater Normalverteilung 0:37:37 Bedingte Erwartungswerte und bedingte Erwartungen (Einführung) 0:53:03 Bedingte Erwartung bzgl. einer von einer Zerlegung erzeugten Sigma-Algebra 1:04:30 Konkretes Beispiel 1:08:50 Bedingte Erwartung (allgemeine Definition) 1:10:27 Existenz und (P-fast sichere) Eindeutigkeit der bedingten Erwartung 1:21:23 Bedingte Erwartung als Menge von Zufallsvariablen, Version der bedingten Erwartung

15: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 27.06.2016

14 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Resultaten aus Lektion 13 0:05:26 Satz von Fubini für Übergangswahrscheinlichkeiten 0:12:41 Bemerkungen zur Kopplung (Modellierungsaspekt, Zusammenhang mit bedingten W‘en) 0:22:54 Übergangswahrscheinlichkeiten und Dichten 0:30:16 Beispiel (Münzwürfe mit gleichverteilter Erfolgswahrscheinlichkeit) 0:39:35 Bemerkung (iterierte Berechnung von Erwartungswerten) 0:44:19 Konstruktion der Verteilung eines Zufallsvektors aus Marginalvert. und bedingter Verteil. 0:50:02 Bedingte Verteilung 0:59:23 Beispiel (Verteilungsmischungen) 1:06:49 Beispiel Negative Binomialverteilung als „Gamma-Mischung“ von Poisson-Verteilungen) 1:12:45 Beispiel (bivariate Normalverteilung) 1:20:30 Zerlegung einer gemeinsamen Verteilung in Marginalverteilung und bedingte Verteilung

14: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 20.06.2016

13 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung der wichtigsten Resultate von Lektion 12 0:04:56 Zentraler Grenzwertsatz von Ljapunov 0:11:20 Grenzverteilung der Anzahl der Rekorde in einer zufälligen Permutation 0:28:56 Anwendung: Test auf p=q im Zwei-Stichproben-Fall bei dichotomem Merkmal 0:48:06 Übergangswahrscheinlichkeiten und bedingte Verteilungen (Einführung) 1:01:46 Beispiel (Trefferanzahl bei rein zufälliger Trefferwahrscheinlichkeit) 1:04:54 Übergangswahrscheinlichkeiten, Markov-Kerne 1:09:07 Kopplung einer Startverteilung und einer Übergangswahrscheinlichkeit

13: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 15.06.2016

12 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Begriffe und Resultate von Lektion 11 0:05:37 Zentrale Grenzwertsätze (Einführung) 0:06:12 Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS) von Lindeberg-Lévy 0:08:51 Beweis des ZGWS von Lindeberg-Lévy 0:37:44 Satz von Berry-Esséen 0:43:57 Dreiecksschemata 0:50:14 ZGWS von Lindeberg-Feller (LF) 0:51:57 Beweis des ZGWS von LF 1:19:39 Bem. zum ZGWS von LF, Feller-Bedingung, Bed. der gleichm. asymptotischen Vernachlässigbarkeit

12: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 13.06.2016

11 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Resultaten aus Lektion 10 0:07:16 Straffheit, Beispiele 0:20:40 Relative Kompaktheit 0:22:50 Relative Kompaktheit ist notwendig für Verteilungskonvergenz 0:24:33 Straffheit und relative Kompaktheit sind äquivalent 0:38:54 Satz über Straffheit und Verteilungskonvergenz 0:44:51 Stochastische Beschränktheit, stochastische Landau-Notation 0:49:54 Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér 1:06:28 Charakteristische Funktionen und Verteilungskonvergenz 1:11:04 Zentrale Grenezwertsätze (Einführung)

11: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 06.06.2016

10 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung von Begriffen und Sätzen aus Lektion 9 0:06:13 Konvergieren zwei Folgen in Verteilung gegen X bzw. Y, so konvergiert die Summenfolge nicht unbedingt gegen X+Y. 0:12:31 Satz von Skorokhod 0:21:20 Abbildungssatz 0:29:34 Verteilungskonvergenz impliziert nicht notwendig Konvergenz der betreffenden Erwartungswerte 0:37:11 Charakterisierung der Verteilungskonvergenz 0:58:24 Auswahlsatz von Helly 1:09:18 Die Limesfunktion im Satz von Helly muss keine Verteilungsfunktion sein

10: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 01.06.2016

09 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Charakterisierung nullsymmetrischer Verteilungen 0:01:36 Additionsätze 0:04:45 Additionsätze 0:13:31 Riemann-Lebesgue-Lemma, Charakteris. von Gitterverteilungen, erzeug. Funktion, Laplace-Transformierte 0:20:45 Verteilungskonvergenz 0:26:50 Diskussion (Eindeutigkeit der Grenzverteilung, Satz von Pólya, warum nur Stetigkeitsstellen?) 0:33:51 Beispiel (Gumbelsche Extremwertverteilung) 0:42:17 Beispiel (Zentraler Grenzwertsatz von deMoivre-Laplace) 0:44:29 Beispiel (Gesetz seltener Ereignisse) 0:47:49 Aus stochastischer Konvergenz folgt Verteilungskonvergenz 0:56:51 Übersicht über die Konvergenzbegriffe 0:57:42 Lemma von Sluzki

09: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 30.05.2016

08 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung der wichtigsten Begriffe und Resultate von Lektion 7 0:04:52 Charakteristische Funktion der Standardnormalverteilung 0:11:24 Elementare Eigenschaften charakteristischer Funktionen 0:21:42 Charakteristische Funktion einer allgemeinen Normalverteilung 0:23:34 Charakteristische Funktionen und Momente 0:45:54 Multiplikationsformel für charakteristische Funktionen 0:49:25 Umkehrformeln, Eindeutigkeitssatz

08: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 23.05.2016

07 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Resultate von Lektion 6 0:06:09 Kolmogorov-Kriterium 0:22:00 Starkes Gesetz großer Zahlen bei gleichmäßig beschränkten Varianzen 0:24:03 Beweis der Hinlänglichkeit der Existenz des Erwartungswertes für das starke GGZ 0:53:30 Anwendung: Monte-Carlo Integration 1:01:47 Konvergenzgeschwindigkeit beim starken Gesetz großer Zahlen 1:04:48 Das Gesetz vom iterierten Logarithmus (GIL) 1:06:32 Der Satz von Strassen (Verschärfung des GIL) 1:09:25 Charakteristische Funktionen (Einführung) 1:19:51 Charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen 1:23:39 Beispiel (Poisson-Verteilung)

07: Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesung, SS 2016, am 18.05.2016

06 | 0:00:00 Starten 0:00:10 Englische Zusammenfassung wichtiger Begriffe und Resultate on Lektion 6 0:05:40 Verallgemeinerung auf Zufallsvektoren 0:12:27 Rechenregeln zur stochastischen Konvergenz 0:19:29 Konvergenz im p-ten Mittel 0:23:11 Beziehungen zwischen den Konvergenzbegriffen 0:31:04 Gesetze großer Zahlen (Einführung) 0:33:43 Schwaches Gesetz großer Zahlen 0:35:36 Starkes Gesetz großen Zahlen 0:38:50 Beweis der Notwendigkeit der Existenz des Erwartungswertes für die Gültigkeit des starken Gesetzes großer Zahlen 0:48:27 Borels Satz über normale Zahlen 0:52:43 Kolmogorovsche Maximalungleichung 1:08:07 Das Lemma von Cesàro 1:13:42 Das Lemma von Kronecker 1:19:23 Das Kolmogorov-Kriterium

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